Александр Бахмуров родился 22 ноября 1950 года в Ленинграде. Высшее образование он получил в Красноярском государственном университете, окончив его в 1974 году, а затем завершил обучение во Всесоюзном заочном институте пищевой промышленности.

Трудовую деятельность Бахмуров начал преподавателем химии в Механико-технологическом техникуме Куйбышева. Параллельно он занимался изобретательской работой.

В начале 1990-х годов его избрали депутатом Самарского городского совета. Впоследствии он занимал пост первого заместителя председателя комитета по управлению государственным имуществом Самарской области, а также руководил территориальным агентством Федерального управления по делам о несостоятельности.

После ухода с поста главы УФНС Александр Бахмуров возглавлял Общественный совет при налоговом ведомстве. Дата и место прощания пока не определены.